Teorema de tales

Tanto en matemáticas como en física es habitual la aplicación de teoremas que permiten llevar a cabo cálculos por la aplicación de reglas que siempre se cumplen.

En este artículo vamos a analizar el teorema de Tales.

Qué es el teorema de Tales

Un teorema es una proposición teórica, enunciado o fórmula en la que se anuncia una verdad que es demostrable.

Tales de Mileto fue un filósofo, matemático, geómetra, físico y legislador griego.

Tales desarrolló dos teoremas que en la actualidad siguen siendo considerados como fundamentales. El primero consiste en la explicación para construir un triángulo semejante a partir de uno ya existente y el segundo es muy utilizado cuando es necesaria la construcción de ángulos rectos.

Primer teorema de Tales

El primer teorema de Tales hace referencia a una ley de la geometría que dice que si trazamos una línea paralela a cualquier lado de un triángulo conseguiremos un triángulo semejante al triángulo original.

Para entender esta definición es necesario saber que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales o si sus lados guardan una proporción entre sí.

Este teorema surge de la investigación acerca del paralelismo entre dos rectas. No obstante, la razón de la fama del teorema de Tales es conocer la condición de semejanza de triángulos.

Aplicación

Debido a la explicación por la que existe una relación de semejanza entre el triángulo original y el construido a través del trazo de una línea paralela, se deduce la existencia de la proporcionalidad entre sus lados. Esto tiene como consecuencia que la razón entre las longitudes de los lados de ambos triángulos debe ser la misma.

Por ejemplo, en el caso de un triángulo en el que sus lados miden 5 centímetros cada uno y se traza una línea paralela a uno de ellos, creando un nuevo triángulo semejante con dos lados de 2 centímetros cada uno. Si calculamos el cociente entre los dos lados del primer triángulo y del segundo, obtenemos que el resultado es el mismo en ambos.

La utilidad de la aplicación de este teorema es básica en la geometría descriptiva. En la vida cotidiana es posible utilizar el teorema de Tales para el cálculo de alturas o sombras generadas, tomando como referencia otro elemento cercano a través del que se calculen por semejanza los lados del triángulo que forma la otra figura. Es posible, por ejemplo, calcular la altura de un árbol tomando como referencia un edificio cercano.

La leyenda cuenta que Tales de Mileto consiguió medir la pirámide de Keops mediante la aplicación de este teorema. Colocó una vara en posición vertical en el borde de la sombra que proyectaba la pirámide en un momento concreto del día. Al ser iguales los dos triángulos que se formaban con el corte de los rayos del sol y guardar la misma relación las longitudes del palo y la pirámide con la sombra, halló el resultado de la altura total de la pirámide.

Segundo teorema de Tales

El segundo teorema de Tales de Mileto está enfocado principalmente a los triángulos rectángulos y también a las circunferencias y los ángulos inscritos.

En una circunferencia con un diámetro de A a C y un punto central O es posible establecer un punto B y trazar los distintos segmentos para crear diferentes triángulos.

En estos triángulos los segmentos OA, OB y OC son iguales, ya que están formados por radios de la circunferencia. Además, los triángulos AOB y BOC son isósceles, es decir, que cuentan con dos de sus lados iguales, ya que están formados por dos segmentos que son radios de la circunferencia.

Aplicación

A través de la aplicación del segundo teorema de Tales es posible trazar tangentes a una circunferencia dada, que pase por un punto conocido y externo a la misma.

Se supone que la tangente toca a la circunferencia dada en un punto y se sabe que cualquier radio de esta circunferencia es perpendicular a la tangente, por lo que forma un ángulo recto. Por tanto, el triángulo que se forma entre el centro, el punto donde la tangente corta la circunferencia y el punto externo es rectángulo. Este triángulo es inscribible en una circunferencia con radio de longitud correspondiente a la mitad de la hipotenusa formada entre el centro y el punto exterior.

Tomando el punto central de la hipotenusa se crea una segunda circunferencia que circunscribe al triángulo. Esta circunferencia corta a la primera en dos puntos que corresponden a los dos puntos de tangencia de las dos líneas que se cortan en el punto exterior.

El teorema de Tales está formado en realidad por dos teoremas. El primero sirve para construir un triángulo semejante a partir de un triángulo dado y el segundo permite la construcción de tangentes a partir de una circunferencia dada. Ambos teoremas tienen aplicación en la geometría descriptiva.