Propiedad distributiva

La propiedad distributiva es un atributo de la multiplicación dentro del álgebra elemental que permite reformular la manera en que se expresan ciertas operaciones binarias en las que se busca el producto o cociente respecto a una suma o resta de dos o más componentes.

¿Qué es la propiedad distributiva?

Dentro de lo que la notación matemática permite, aplicar la propiedad distributiva responde a distintas necesidades de cálculo que pueden simplificar operaciones complejas y que, también, sirven para despejar ecuaciones con incógnitas. En términos del álgebra elemental y la teoría de campos, todas las multiplicaciones y divisiones son distributivas respecto de los procesos de suma o resta.

El concepto de la distribución resulta relativamente sencillo de comprender: se produce en la multiplicación de dos o más elementos, los cuales, a su vez, se restan o se suman entre sí. Se puede resolver de la siguiente forma:

• Se realiza la suma o la resta de los términos —operandos— y luego se multiplica el resultado por el operador.
• Se multiplica el operador por cada uno de los términos y luego estos se suman o se restan.

En el segundo caso, aplicamos la distribución de la multiplicación: lo que esto significa es que el multiplicador se empareja con cada uno de los elementos que se encuentren dentro de la operación de suma o resta. En ambos casos, el resultado final de la operación será el mismo sin importar el método que se aplique.

De esta manera, la multiplicación resulta específica a cada uno de términos restados o sumados, lo que permite realizar otro tipo de cálculo en el que pueden apreciarse otras características de la misma operación —por ejemplo, cuando uno de los elementos de la suma o resta son variables que deben despejarse—.

Esta propiedad resulta luego muy útil en operaciones de mayor complejidad en el cálculo matemático y el álgebra en general. Como se trata de operaciones complementarias y opuestas, la propiedad distributiva puede aplicarse de la misma manera a la división de una suma o resta, siguiendo los mismos parámetros.

¿Cómo se aplica la propiedad distributiva?

Aplicar la propiedad distributiva no solo tiene como objetivo resolver una determinada operación de multiplicación o división sobre una suma o resta determinada. Su principal función en términos matemáticos proviene de su capacidad de reformular la misma expresión de la operación con distintos propósitos.

Es importante recordar, sin embargo, que la propiedad de distribución de la multiplicación o división solo se expresa en los casos de suma o resta, nunca en los casos en los que se multiplica o divide dos términos que, a su vez, se multiplican o se dividen entre sí. Esto puede verse en los siguientes ejemplos:

• 3 [2 + 2] = 3 [4] = 12
• 3 [2 + 2] = 3 x 2 + 3 x 2 = 6 + 6 = 12

En el segundo caso, se expresa la propiedad distributiva para evidenciar la multiplicación individual de cada término sumado —[3 x 2] + [3 x 2]—. Por el contrario, esta correspondencia no se sostiene si aplicamos la propiedad distributiva sobre una multiplicación o división entre dichos términos:

• 3 [2 x 2] = 3 [4] = 12

• 3 [2 x 2] = [3 x 2] x [3 x 2.] = 6 x 6 = 36

En este caso, no se mantiene la equivalencia de resultados, puesto que la propiedad distributiva solo se expresa en respecto de una suma o una resta.

Distributiva de la suma

En la suma de operaciones combinadas, la distributiva se aplica de tal manera que pueden expresarse los distintos niveles de la operación para simplificar su resolución.

Por ejemplo, si queremos conocer el resultado de la siguiente operación:

4 [5 + 5 + 10] = 80

En este caso, se realiza primero la suma y luego se multiplica el resultado por el operador 4. Por el otro lado, si se aplica la propiedad distributiva, primero se multiplica:

4 x 5 + 4 x 5 + 4. 10 = X

20 + 20 + 40 = 80

Como puede constatarse en el ejemplo, la multiplicación se realiza sobre cada término para luego sumar los resultados de cada uno de ellos.

Distributiva de la resta

La distributiva de la resta sigue el mismo procedimiento que en el caso de la suma. Sin embargo, en el caso de la división de los términos, esta solo se cumple si se encuentra a la derecha de la expresión:

[18 – 4] : 2 = 18 : 2 – 4 : 2

14 : 2 = 9 – 2

7 = 7

Por el contrario, si la distributiva se encuentra del lado izquierdo de la expresión, el resultado no se corresponde con la resolución sin aplicar la distributiva:

20 : [10 – 2] = 20 : 10 – 20 : 2

20 : 8 = 2 - 10

2,5 = - 8

La propiedad distributiva se constituye como un principio del álgebra elemental en el que se presupone la igualdad en la naturaleza de los términos de una suma o resta respecto de una multiplicación o división. Expresar la propiedad distributiva permite una notación con distintos propósitos en la que no se altera el resultado.