Polinomio de Taylor

El uso de funciones polinómicas facilita el estudio del comportamiento de una función, en comparación a hacerlo con funciones de mayor complejidad, siendo la principal aplicación de las series de Taylor. El Polinomio de Taylor es una herramienta muy utilizada en las matemáticas y en la física, teniendo gran importancia para muchos cálculos financieros donde el precio no es lineal.

Origen y definición del Polinomio de Taylor

Uno de los problemas matemáticos que se planteaba en el pasado era la suma de una serie infinita de números con el objetivo de obtener un resultado finito (siendo considerado como imposible). A lo largo del tiempo fueron apareciendo soluciones filosóficas y matemáticas para tratar de resolver este problema. 

Arquímedes fue el primero en demostrar que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas podían llegar a dar un resultado trigonométrico finito. En el siglo XIV aparece por primera vez lo que se conoce como series de Taylor. Fue en el año 1715 cuando el matemático británico Brook Taylor presentó un método general con el fin de construir estas series aplicadas a cualquier función existente.

Definición del Polinomio de Taylor

La definición “oficial” del polinomio de Taylor es que se trata de una aproximación polinómica de una función n veces derivable en un punto exacto. Esto quiere decir que el Polinomio de Taylor no es más que la suma finita derivadas locales que son evaluadas en un punto concreto.

Al realizar la representación gráfica de un polinomio de Taylor se puede observar que, a medida que aumenta el grado del polinomio, este se acerca de manera más precisa a la función que representa en torno al punto estudiado.

Por qué se utiliza el Polinomio de Taylor

El Polinomio de Taylor viene a facilitar el trabajo con funciones. Es mucho más sencillo trabajar con un polinomio de Taylor que con la propia función porque es mucho más fácil y rápido operar, integrar o derivar con el polinomio (usando la función las operaciones serían más complejas y requerirán mayor tiempo y esfuerzo).

En casos donde las funciones son más sencillas y las operaciones se realizan de forma rápida no es necesario recurrir al polinomio de Taylor para realizarlas.

Aplicaciones del Polinomio de Taylor

El polinomio de Taylor tiene distintas aplicaciones en el ámbito de las matemáticas, entre las que podemos destacar:

• La aproximación de valores.
• La resolución de algunas indeterminaciones en el cálculo de límites.
• Las desigualdades.
• Encontrar extremos relativos de funciones.
• Cálculo de la exponencial de una matriz.
• Método de Newton para encontrar ceros de funciones.

Fuera de las matemáticas el polinomio de Taylor se aplica en ámbitos como:

Aplicación en activos y productos financieros

En aquellos activos financieros donde el precio es expresado como una función no lineal (como por ejemplo, el título de deuda a corto plazo) se utiliza el Polinomio de Taylor. 

Los bonos financieros permiten acceder a las empresas a un tipo de financiación. El precio del bono se calcula mediante una fórmula matemática que depende del tipo de interés. En los casos donde este tipo de interés sufre grandes variaciones es necesario acudir a un polinomio de Taylor de grado dos para conseguir una aproximación al precio medio (para calcular la duración de un bono se recurre a un polinomio de Taylor de primer grado).

En general, en las finanzas el polinomio de Taylor es utilizado para obtener resultados más precisos de valores como el precio de un bono o el número de opciones en cartera. Se trata de una herramienta que permite aproximar el precio cuando este depende de variables que sufren grandes variaciones.

Aplicación en Ingeniería

En la ingeniería se utiliza el polinomio de Taylor para estudiar las deformaciones de los cuerpos rígidos. Cuando a un cuerpo fijo se le aplica una fuerza exterior se deforma y a esos efectos cinemáticos se les conoce como corrimientos, que se experimentan entre dos puntos. El desplazamiento de uno de estos puntos alrededor del otro se puede describir con el polinomio de Taylor.

Aplicación en Física

En la física se utiliza el polinomio de Taylor para realizar aplicaciones en numerosos casos, como por ejemplo en la comparación de la ley de Rayleigh-Jeans con la Ley de Planck.

Otro tipo de aplicaciones

El teorema de Taylor también se utiliza en otros ámbitos como en la programación informática para la implementación de funciones, en la meteorología o incluso la medicina.

El polinomio de Taylor se utiliza para facilitar las operaciones con funciones. Las aplicaciones de este polinomio tienen gran importancia en el ámbito financiero y bursátil, donde el valor del precio no es lineal, y depende de otras variables. También es utilizado en otras áreas como la física, donde se pueden encontrar muchos ejemplos, la ingeniería para realizar cálculos y aproximaciones de funciones y la programación, para la implementación de funciones.

El polinomio de Taylor es una herramienta muy útil que es usada habitualmente en las matemáticas y todas sus aplicaciones.