Matriz traspuesta

En matemáticas, la matriz traspuesta es aquella que surge como resultado de realizar un cambio de columnas por filas y filas por columnas en la matriz original, generándose una nueva matriz (a la que llamamos traspuesta). Básicamente, consiste en reescribir una matriz determinada, poniendo las filas donde estaban las columnas y viceversa.

Para indicar la operación con la que se genera una matriz traspuesta, es decir, el cambio de fila-columna o columna-fila, se suele utilizar un superíndice T. No es un exponente, simplemente indica que la matriz en cuestión es la traspuesta de la matriz original. El orden de la matriz traspuesta variará en función de la tipología de la matriz original.

Origen e historia de las matrices

Alrededor del año 650 a.C., la literatura china registró, por primera vez, los llamados cuadrados mágicos, en los que se empezó a hacer uso de las estructuras matriciales. Varios siglos después, alrededor del año 200 a.C., los matemáticos chinos comenzaron a utilizar las matrices para resolver ecuaciones lineales, gracias a los conceptos que se empezaron a ver en el libro “Nueve capítulos sobre el arte matemático”, escrito por Jiuzhang Suanshu.

En el año 1683, el matemático japonés Seki K?wa introdujo el concepto de determinante, y la regla de Cramer (presentada por el propio Cramer en 1750) junto a la eliminación de Gauss-Jordan completaron sentaron las bases de lo que ahora conocemos como operaciones matriciales, un concepto que se empezó a utilizar por James Joseph Sylvester en el siglo XIX. Desde entonces, innumerables científicos empezaron a utilizar las matrices para resolver ecuaciones, llegando a convertirse en una herramienta básica dentro de las matemáticas.

Aplicaciones de la matriz traspuesta

Al fin y al cabo, este tipo de matriz es una trasposición de la original, pero tiene ciertas aplicaciones que son bastante útiles en algunos campos de la ciencia. La podemos encontrar, por ejemplo, en la fórmula del estimador de los Mínimos Cuadrados Ordinarios en econometría.

Propiedades de la matriz traspuesta

Al igual que todos los tipos de matrices, la traspuesta también tiene determinadas propiedades únicas:

• Si se traspone una matriz traspuesta, se obtiene la matriz original.
• Una suma traspuesta de dos matrices equivale a la suma de cada matriz traspuesta.
• Una matriz cuadrada y diagonal es igual a su traspuesta.
• Realizar el producto traspuesto de una multiplicación de matrices equivale a la multiplicación de ambas matrices traspuestas.
• De igual manera, realizar el producto traspuesto de una constante “w” por una matriz equivale a la constante “w” multiplicada por la matriz traspuesta.

La matriz traspuesta es un tipo bastante sencillo y simple, pero sus propiedades y su utilidad han hecho que se utilice para elaborar fórmulas complejas en diferentes campos de la ciencia, como puede ser la econometría.