Distribución binomial

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que nos dice el porcentaje en que es probable obtener un resultado entre dos posibles al realizar un número n de pruebas.

La probabilidad de cada posibilidad no puede ser más grande que 1 y no puede ser negativa.

En estas pruebas deberemos tener sólo dos resultados posibles, como al lanzar una moneda que salga cara o cruz o en una ruleta francesa que salga rojo o negro.

Cada experimento es independiente de los otros que hagamos y no influye en las probabilidades de los siguientes, en cada uno la probabilidad de que se de uno de los dos resultados será exactamente la misma.

Por ejemplo, si lanzamos un dado la posibilidad de que el resultado sea par (2, 4 ó 6) o impar (1, 3 ó 5) será exactamente la misma si el dado está bien equilibrado, el 50% y por muchas veces que lo lancemos la probabilidad, en cada una de esas veces, seguirá siendo el 50%.

En la distribución binomial tenemos tres variables:

• n es el número de veces que repetimos el experimento.
• p es uno de los dos resultados al que llamaremos éxito.
• q es el otro resultado posible al que llamaremos fracaso.

Como p y q son los dos únicos resultados posibles, entre los dos su porcentaje debe sumar uno por lo que p=1-q.

Para hacer el experimento lo primero que tenemos que hacer es definir p, es decir, en el ejemplo del dado definir si éxito o p es que salga un número par o impar; a partir de ahí, q será la otra posibilidad.

Otro ejemplo: supongamos que vamos con prisa por la calle y queremos tomar un taxi, vamos a calcular la probabilidad de que el próximo taxi que pase esté libre u ocupado. Como hoy está lloviendo es muy probable que esté ocupado. Vamos a asignar a la probabilidad de que esté libre un 15% (es decir, 0,15). Si definimos p o éxito como la probabilidad de que esté libre la de que esté ocupado será q que, al ser 1-p será 1-0,15, es decir 0,85 o, dicho en porcentaje, el 85%

Así, si queremos saber la probabilidad de que un resultado ocurra determinadas veces utilizaremos estos porcentajes.

Por ejemplo, si observamos que pasan diez taxis y queremos saber la probabilidad de que tres de ellos estén libres la fórmula sería:

Donde P es la probabilidad de que tres taxis de los diez estén libres, r las veces que queremos calcular que estén libres, en este caso tres, p el porcentaje de éxito, en este caso 0,15, elevado a r, que hemos visto antes, por q (el porcentaje de fracaso que, en este caso es 0,85) elevado a n menos r; n sobre r se calcula utilizando números factoriales.