Determinante de una matriz

El determinante de una matriz siempre es un número real y únicamente lo podremos calcular para matrices cuadradas. A partir de esta noción básica, explicaremos el significado del determinante para diferentes tipos de matrices y también su utilidad. Cabe recalcar que las matrices aparecieron a mitad del siglo XIX por parte del británico James Joseph Silverton, aunque fueron posteriormente desarrolladas por un astrónomo irlandés llamado Hamilton. Su uso es bastante extenso en campos como la geometría, la estadística y la economía, por citar algunos. Además, hoy en día, también son usados en muchos lenguajes de programación, pues en la mayoría de ocasiones los datos se introducen en los ordenadores, organizados en filas y columnas (de igual manera que una matriz). 

Definición

El determinante de una matriz cuadrada —matriz con el mismo número de filas que de columnas— se obtiene de restar la multiplicación de los elementos de la diagonal principal de la matriz y la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria de la misma matriz.  

Para poder realizar este cálculo necesitamos una matriz cuadrada de orden m x n, donde m son las filas y n las columnas, siendo siempre m=n. Esto es lo que llamamos dimensión de la matriz. Para matrices de orden superior a 2 x 2, el cálculo se realiza mediante las reglas de Laplace o Sarrus. 

Utilidad

El determinante de una matriz nos indica si estamos ante un sistema singular o no singular de ecuaciones lineales. Por ello, si el resultado del determinante es cero (nulo), estaremos ante una matriz singular, y si el resultado es distinto de cero, estaremos ante una matriz no singular. 

A continuación, enumeramos las diferentes aplicaciones que pueden tener los determinantes de matrices:

• Nos permiten estudiar la posición relativa de rectas y planos (sabemos que la posición relativa que ocupan rectas y planos se puede calcular a través de sistemas de ecuaciones lineales, que son resueltas por determinantes de matrices).
• Podemos obtener la ecuación implícita de un plano (a través de un determinante nulo).
• Son un instrumento para calcular áreas de figuras en el plano.
• Nos ayudan a calcular el rango de una matriz con parámetros (sin usar el concepto de determinante).
• Son útiles para calcular el volumen de los paralelepípedos.

Propiedades de un determinante

• El determinante de una matriz siempre es igual al de su matriz traspuesta.
• El determinante de una matriz será siempre cero (nulo) si la matriz contiene dos filas o columnas iguales, si los elementos de una fila o columna son todo ceros o si los elementos de una fila o columna son una combinación lineal de las demás.
• El determinante del producto de dos matrices será siempre el mismo que el resultado del producto de sus determinantes.
• El determinante cambia de signo si se intercambian dos filas o columnas cualesquiera de una matriz.
• El determinante de una matriz quedará multiplicado por un número real si se multiplican todos los elementos de una fila o columna por ese mismo número.
• El determinante de una matriz no se altera si sumamos a una fila o columna un múltiplo de otra fila o columna.

Regla de Laplace

Mediante esta regla podremos calcular fácilmente el determinante de matrices de dimensiones iguales y mayores a 3 x 3. De esta forma, simplificamos el cálculo de las matrices de dimensiones elevadas al utilizar la suma de los determinantes de las matrices menores en las que se descompone la matriz inicial.

Regla de Sarrus

Ideada por el matemático francés Pierre Frédéric Sarrus, esta regla nos permite también calcular determinantes de matrices cuadradas de orden 3 y solamente de este orden. Para calcular los determinantes de esta manera debemos dibujar dos conjuntos de dos triángulos opuestos a través de los elementos que componen la matriz. El primer conjunto tendrá dos triángulos que deben cruzar la diagonal principal, mientras que el segundo conjunto tendrá otros dos triángulos que crucen la diagonal secundaria.

Otra manera de calcular determinantes mediante la regla de Sarrus teniendo un determinante de una matriz 3 x 3 es la siguiente: escribimos las primeras dos filas de la matriz a la derecha de la misma, como si ocupasen una cuarta y quinta fila imaginaria. A partir de aquí, multiplicaremos los elementos por diagonales y, después, tendremos en cuenta que las diagonales descendentes que vayan de izquierda a derecha llevan un signo positivo, mientras que las diagonales de derecha a izquierda que sean también descendientes llevarán un signo negativo. Con este método, a pesar de su sencillez, es posible que se cometan errores, pues el número de operaciones es elevado. A pesar de existir algunas propiedades y trucos para agilizar los cálculos, es aconsejable el uso de calculadoras potentes para realizar cálculos de algunos determinantes de matrices.

Por tanto, estamos ante un instrumento matemático que ayuda a simplificar el cálculo de operaciones más complejas y que a su vez tiene otras diversas utilidades en geometría.