Desigualdad matemática

La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien menor o igual. Cada una de las distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada con diferente signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones matemáticas diferente según su naturaleza.

Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este concepto con el menor número de palabras posibles diremos que; el objetivo de la desigualdad matemática es mostrar que dos sujetos matemáticos expresan valores diferentes.

Signos de desigualdad matemática

Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las desigualdades matemáticas posibles en los cinco siguientes:

• Desigual a: ≠
• Menor que: <
• Menor o igual que: ≤
• Mayor que: >
• Mayor o igual que: ≥

Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos. De modo que implicaría que a es menor a b, mientras que “a>b” significa que a es mayor a b. En el caso de “a≠b”, leeremos la expresión como a es desigual a b, “a≤b”; a es menor o igual a b, y “a≥b” implica que a es mayor o igual a b.

Es también importante conocer que la expresión de desigualdad matemática “a≠b” no es excluyente con las expresiones “a” y “a>b”, de modo que, por ejemplo, “a≠b” y “a>b” pueden ser ciertas al mismo tiempo. Por otro lado, tampoco son excluyentes entre sí las expresiones “a≥b” y “a>b” o “a≤b” y “a”.

Ejemplos

Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de ocasiones, por dos miembros o componentes. Un miembro se encontrará a la izquierda del símbolo y el otro a la derecha.

Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro veces nuestra incógnita menos dos es superior a nueve”. Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el elemento B. La resolución nos mostraría que (en números naturales) la desigualdad se cumple si x es igual o superior a 3 (x≥3).

Tipología de desigualdades

Existen dos tipos distintos de desigualdades dependiendo de su nivel de aceptación. Ninguna de ellas no incluye la desigualdad general (≠). Son las siguientes:

• Desigualdades estrictas: son aquellas que no aceptan la igualdad entre elementos. De este modo, entenderemos como desigualdades de este tipo el “mayor que” (>) o “menor que” (<).
• Desigualdades amplias o no estrictas: todas aquellas en las que no se especifica si uno de los elementos es mayor/menor o igual. Por lo tanto, estamos hablando de “menor o igual que” (≤), o bien “mayor o igual que” (≥).

Propiedades

Para operar con desigualdades debemos conocer todas sus propiedades:

• Si los miembros de la expresión son multiplicados por el mismo valor, no cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 3(4x-2) > 3·9
• Si los miembros de la expresión son divididos por el mismo valor, no cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = (4x-2)/3 > 9/3
• Si los miembros de la expresión son sumados o restados por el mismo valor, no cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 4x-2 -3 > 9 - 3 / 4x – 2 > 9 = 4x-2 +3 > 9+3

Y también debes saber aquellas propiedades en las que la desigualdad sí que cambia de sentido:

• Si los miembros de la expresión son multiplicados por un valor negativo, sí cambia de sentido: 4x – 2 > 9 = -3(4x-2) < -3·9
• Si los miembros de la expresión son divididos por un valor negativo, sí cambia de sentido: 4x – 2 > 9 = (4x-2) / -3 < 9/-3

Notación encadenada

Conocemos por desigualdad de notación encadenada todas aquellas expresiones de desigualdad en las que se relacionan más de dos elementos. Sería este caso si, por ejemplo, relacionamos a, b y c de modo que cada uno es menor al otro.

Pongamos como ejemplo: a < b < c indica que “a es menor que b” y, a su vez, “b es menor que c”. De modo que podemos deducir que “a es menor que c”, esta propiedad la conocemos por el nombre de propiedad transitiva.

Diferencia entre desigualdad e inecuación

Es importante conocer que existe un elemento matemático diferente a la desigualdad matemática que es usualmente confundido con ella: las inecuaciones.

Una inecuación se basa en una desigualdad, pero su resultado puede ser incongruente o, simplemente, denotar que no existe solución posible al enunciado. Por lo tanto, una inecuación puede ser una desigualdad, pero, por otro lado, una desigualdad no tiene por qué ser una inecuación.

Por ejemplo, 3 < 5 es una desigualdad que se cumple, pero no será nunca una inecuación porque no contiene ninguna incógnita.

Por lo tanto, una desigualdad es una proposición que relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. No necesita contener una incógnita y si es así puede ser, a la vez, una inecuación. Para operar con ellas debes entender sus propiedades ante la suma, resta, multiplicación y división de sus elementos.