Covarianza

La covarianza es el valor a través del cual se refleja en qué cuantía don variables cualesquiera varían de forma conjunta respecto de sus medias aritméticas. Así, esta medida nos permite conocer cómo se comportan las variables en cuestión respecto de otras variables. Es decir, ¿qué hace la variable X cuando Y aumenta? ¿y cuándo Y disminuye? ¿y si Y se mantiene estable y constante?

La covarianza puede adquirir valores negativos y positivos, y además puede adquirir valores iguales a 0. ¿Cómo se han de interpretar estos resultados? Veámoslo:

1.- Cuando la covarianza es menor que 0: en este caso, hay una relación negativa, de forma que X e Y son dos variables inversamente proporcionales la una respecto de la otra. En palabras más sencillas: cuando la variable Y aumenta, la variable X disminuye.

2.- Cuando la covarianza es mayor que 0: en este caso, hay una relación positiva, de forma que X e Y son dos variables directamente proporcionales la una respecto de la otra. En otras palabras más sencillas de entender: cuando la variable X aumenta, la variable Y también lo hace.

3.- Cuando la covarianza adquiere un valor igual a 0: en este caso, la relación entre una variable y otra variable es inexistente, lo que quiere decir que la covarianza será igual que 0 independientemente de que cualquiera de las dos variables aumente o disminuya.

LA FÓRMULA Y EL CÁLCULO DE LA COVARIANZA

La fórmula de la covarianza es la siguiente:

Donde:

1.- Y con acento es la media aritmética de la variable Y.

2.- X con acento es la media aritmética de la variable X.

3.- i es la posición de la observación.

4.- n es el número total de observaciones.

PROPIEDADES QUE POSEE LA COVARIANZA

A la hora de calcular la covarianza y de utilizar y trabajar con esta medida, es necesario tener en cuenta una serie de propiedades que nos harán más fácil su aplicación. Así, sus propiedades son las siguientes:

1.- Cuando las dos variables cuya relación se calcula gracias a la covarianza están multiplicadas por dos constantes diferentes, ésta será igual a la covarianza de las dos variables multiplicada por la multiplicación de las dos constantes en cuestión. Sería de la siguiente manera à Cov (a x X, b x Y) = a x b x Cov (X, Y)

2.- La covarianza adquirirá el mismo valor independientemente del orden de las dos variables X e Y.

3.- Cuando la covarianza adquiere un valor igual a 0, significa que una de las variables es una constante.

4.- La covarianza de una variable, por ejemplo, X, y de sí misma, es igual a la varianza de la variable. Sería de la siguiente manera à Cov (X, X) = Var (X)

5.- Cuando se suman dos constantes cualesquiera a cada una de las variables X e Y, no se verá afectada la covarianza. Así à Cov (a + X, b + Y) = Cov (X, Y)

6.- La covarianza es una medida igual a la esperanza de la multiplicación de las dos variables X e Y menos el producto de las dos esperanzas por separado. Quedaría de la siguiente manera à Cov (X, Y) = E(X x Y) – E(X) x (E(Y).

Es importante tener en cuenta todas estas propiedades a la hora de calcular la covarianza.

EJEMPLO DEL CÁLCULO DE LA COVARIANZA

Cualquier cosa se entiende mejor con un ejemplo. Así, para dejar claros los conceptos analizados hasta el momento, lo mejor será utilizar un ejemplo para ilustrar cómo se produce el cálculo de la covarianza y cómo hemos de interpretar el resultado que obtengamos.

Supongamos que tenemos dos variables, X e Y, con los siguientes datos:

• X = (x1, x2, x3) = (0, 4, 8)
• Y = (y1, y2, y3) = (3, 9, 9)

Ahora es el momento de calcular la media aritmética de cada una de las variables. Veámoslo:

• X’ = (0 + 4 + 8) /3 = 4
• Y’ = (3 + 9 + 9) /3 = 7

Una vez calculada la media aritmética hemos de calcular cuál es la covarianza. Vamos a ello:

Cov (X, Y) = (0 – 4) x (3 – 7) + (4 – 4) x (3 – 7) + (8 – 4) x (9 – 7) / 3 = -2,67

En este supuesto, el valor que adquiere la covarianza es menor de 0. ¿Qué quiere decir este resultado? Significa que la variable X y la variable Y guardan una relación negativa, de manera que X e Y son inversamente proporcionales la una respecto de la otra, de manera que, en palabras más sencillas, cuando una variable aumenta, la otra variable disminuye. No obstante, para poder conocer la relación ajustada entre la variable X y la variable Y es necesario llevar a cabo el cálculo de la correlación lineal. En cualquier caso, es necesario decir que dos covarianzas de variables diferentes no son comparables, ya que la unidad de medida de la covarianza será la unidad de medida de las variables. De acuerdo con esto, no se puede comparar la covarianza del peso y de la altura, por ejemplo.