Capitalización continua

La capitalización continua es aquella operación que busca proyectar un capital inicial hacia el futuro, estudiando el crecimiento de este cuando los intereses se capitalizan infinitas veces.

Este modelo es usado cuando queremos una capitalización en la que los intereses se vayan reinvirtiendo de manera continuada; en la que los beneficios generados por el capital vuelvan a formar parte del capital invertido de forma totalmente inmediata, infinitas veces al año.

Mediante la capitalización continua, los intereses obtenidos por la inversión se reinvierten cada infinitésima parte de un segundo, por lo que la rentabilidad será siempre superior a la obtenida por la capitalización compuesta o la capitalización simple.

La fórmula demuestra que cuantas más veces se recapitalice la inversión según los intereses generados, mayor será la rentabilidad final. En definitiva, cuanto mayores sean los períodos de capitalización, mayores serán los intereses obtenidos. Por lo tanto, este modelo nos enseña que, bajo el pretexto de que los intereses sean positivos, será siempre mejor una capitalización de intereses mensual que no una anual. Y mejor una recapitalización diaria que no una que se realice mensualmente.

Fórmula matemática de capitalización continua

La expresión matemática bajo la cual se rige el cálculo de capitalización continua es la siguiente.

VF=VI*exp(i*n)

Como vemos, existen cinco elementos que la componen y debemos conocer.

VF: la incógnita del cálculo es el VALOR FINAL del capital tras la capitalización continua.

VI: con esta expresión entendemos el VALOR INICIAL del capital antes de ser invertido.

Exp: también conocido como número e o número exponencial. Se trata de unos de los números irracionales (con infinitos decimales sin orden lógico) más importantes en matemáticas y es aproximadamente igual a 2,718282.

i: es el tipo de interés anual de la inversión.

n: se trata del tiempo en años que durará la operación (a veces expresado como t).

Como podemos observar, la fórmula nos indica que el Valor Final es el resultado de la multiplicación del VI por el número e elevado a la multiplicación de interés anual y tiempo de la inversión en años.

El resultado es una función exponencial en los que los valores del capital final aumentan exponencialmente ante el crecimiento del tiempo dedicado a la inversión. Lo cual confirma que, efectivamente, cuanto mayor es el tiempo dedicado a la inversión, mayor son los intereses obtenidos y, lo que es más importante; que una capitalización continua tiene un crecimiento del capital superior que una capitalización periódica.

Otras aplicaciones de la fórmula

Podemos usar la función de capitalización continua para estudiar cómo evoluciona el valor de una inversión, pero, también, para saber el valor inicial de una inversión tras haber sido capitalizada de forma continua durante un tiempo determinado.

Si aislamos como incógnita el valor inicial, con los mismos componentes que teníamos anteriormente podemos conocer el valor primigenio de una inversión de capitalización continua.

VI = VF / exp(i*n)

De hecho, bajo el mismo método matemático podríamos conocer el tipo de interés anual de una inversión de capitalización continua sabiendo los valores iniciales y finales y el tiempo en años. Y, de la misma manera, conocer el tiempo con los valores de la inversión y el tipo de interés.

Ejemplo

Si una empresa empieza una inversión de 500.000 euros en un bono de deuda privada y recapitaliza la inversión continuamente con los intereses generados en infinitas partes de cada segundo, está realizando una capitalización continua. Para conocer cuál será el resultado de la inversión solo necesitaremos conocer el tipo de interés anual de los bonos y la durada en número de años de la operación.

En el caso de que los bonos paguen un tipo de interés del 4% anual y la capitalización continua se realice durante 2 años, la aplicación de la fórmula sería la siguiente.

VF=500000*exp(0,04*2)

VF= 541 643€

El resultado de la inversión será aproximadamente 541.643€, lo que implicaría unos beneficios de 41.643€. Cabe destacar que esta cifra es notablemente superior a la que obtendríamos con el cálculo de interés compuesto y, naturalmente, con el cálculo del interés simple.

Por otro lado, si buscamos el Valor Inicial tendríamos que hacer la operación inversa sustituyendo VF por 541643 y aislando VI.

VI = 541643,534 / exp(0,04*2)

VI= 500.000 € (aproximadamente)

Por lo tanto, este modelo no solo nos indica la evolución de una inversión de capitalización continua sino que también nos permite indagar en el capital primigenio a partir de un análisis retrospectivo de la inversión. 

En conclusión, la capitalización continua nos muestra un modelo matemático ideal en el que la inversión se recalcula a partir de sus intereses generados infinitas veces al año. Dicho modelo demuestra que cuantas más veces se recapitaliza la inversión, mayor son sus beneficios finales. Además, nos indica que una recapitalización automática y de infinita inmediatez nos lleva a un crecimiento exponencial de su valor.