Modelo de línea de espera y programación lineal

La productividad de un proceso o conjunto de procesos suele estar condicionada por la relación entre los recursos disponibles y la cantidad de demanda que hay que satisfacer: los modelos de línea de espera y programación lineal persiguen el objetivo de ajustar la capacidad de producción a la demanda, evitando situaciones de espera o de sobreproducción.

¿Qué se entiende por línea de espera?

En un sistema cualquiera, la línea de espera es el efecto que se produce cuando la demanda de un servicio supera su propia capacidad de suministro o producción.

El mencionado sistema está formado por varias entidades que dan servicio a las transacciones que van entrando: en otras palabras, las entidades son los "instrumentos" de los que se dispone para trabajar, mientras que las transacciones miden la cantidad de demanda.

Sin embargo, y en honor a la verdad, el número de entradas al sistema (cantidad de demanda) es un dato totalmente estadístico, imposible de predecir con exactitud, y al que solo es posible aproximarse mediante modelos estocásticos (variables aleatorias que evolucionan en función de otra variable, habitualmente el tiempo).

¿Cómo se modela una línea de espera?

Las líneas de espera se pueden modelar como un proceso en el que el número de transacciones entrantes toma el valor de variable aleatoria, con una probabilidad determinada de que ésta suceda.

¿Qué se consigue con una línea de espera?

Se trata de predecir el nivel de servicio necesario que se ha de proporcionar al sistema para que pueda absorber todo el nivel de demanda sin que los costos de espera o servicio penalicen el resultado final.

¿En qué consiste un sistema de línea de espera?

Supongamos un modelo secuencial, en el que cada transacción ha de seguir una serie de pasos necesarios desde su entrada hasta su salida del sistema: la acumulación de transacciones en cola (a la espera de ser atendidas) conformarían la línea de espera.

Ahora toca modelar la distribución de las llegadas, que ya señalamos que responde a un modelo probabilístico: se suele utilizar la distribución de Poisson para medir la cantidad de ocurrencias en un intervalo del tiempo.

Seguidamente, estableceremos el tiempo de servicio (tiempo que tarda una transacción en finalizar al completo): se suele utilizar la distribución de probabilidad exponencial para calcular con qué probabilidad el tiempo de servicio se asemejará a un intervalo de tiempo preestablecido (deseado).

A continuación, delimitaremos de qué forma se disponen las entidades para acometer los servicios entrantes: podemos establecer un método FIFO (cola: primero en entrar, primero en salir), un método LIFO (pila: último en entrar, primero en salir), o un método que atienda primero a las prioridades más altas.

¿Qué es la programación lineal?

Mediante los sistemas matemáticos de programación lineal, se persigue resolver los problemas de optimización que constan de solo dos variables (sistemas bidimensionales): es un método ampliamente utilizado en administración de empresas y microeconomía, para reducir costes o inventarios y para maximizar los ingresos.

La idea de la programación lineal es encontrar los puntos en los que determinadas funciones (que rigen el comportamiento de un proceso) se maximizan o minimizan; dichas funciones están sujetas a una serie de restricciones.

Se denomina "lineal" porque la función que rige el proceso no es exponencial, es decir, ninguna de sus variables está elevada a ninguna potencia; asimismo, las funciones que determinan las restricciones también son de la misma naturaleza.

¿Cómo se resuelve un problema de programación lineal?

Vamos a delimitar los pasos para resolver problemas de programación lineal, y los acompañaremos de un ejemplo práctico:

Una empresa dispone de 100 000 euros para realizar una campaña de marketing a través de dos canales: uno cobra 1500 euros por cada acción, y otro 3000. La probabilidad de conversión en el primer canal es de un 30 %, (con un mínimo de 26 acciones) y en el segundo un 70 % (con un mínimo de 13 acciones).

¿Cuántas acciones deben lanzarse para garantizar el máximo número de conversiones?

1. El primer paso es elegir las incógnitas que se desean resolver, y escribir la función objetivo según los datos del problema. Según el ejemplo, queremos calcular el "número de acciones de marketing".
2. Seguidamente, debemos establecer un sistema de ecuaciones que recoja las restricciones a las que nos enfrentamos: aquí tenemos cuatro restricciones (presupuesto, número mínimo de acciones, número máximo de acciones y no negatividad de las variables).
3. Ahora averiguaremos el conjunto de soluciones factibles según las restricciones aplicadas.
4. A continuación, delimitamos el recinto de soluciones (pondremos coto a las posibles soluciones).
5. Finalmente, calcularemos el valor de la función objetivo en cada extremo acotado, y encontraremos sus puntos de convergencia.

Los modelos de espera y de programación lineal son métodos de optimización que resultan muy útiles cuando se desea encontrar la mejor combinación posible de recursos para atender a una demanda en concreto, o resolver un problema de la vida real cuantificando sus restricciones.